寫在前面

在由北京數(shù)學會中學委員會主辦的“第11屆中小學數(shù)學教師論壇”上，愛哲數(shù)學老師趙博士的“聚焦數(shù)學建模過程：《自行車中的數(shù)學》教學設(shè)計”獲得了數(shù)學教育教學研究成果獎（教學設(shè)計）。

人教六年級下綜合與實踐活動“自行車中的數(shù)學”是一個數(shù)學建模問題，旨在讓學生經(jīng)歷提出問題——分析問題——建立數(shù)學模型并求解——解決問題的過程，體驗用數(shù)學解決實際問題的思考方法，提升模型意識和應(yīng)用意識。

在課例中，趙博士對探究的核心問題進行了再設(shè)計，引導(dǎo)學生探究真實情境中自行車的速度。學生利用資料深入理解自行車的傳動原理，從而選擇數(shù)學建模的關(guān)鍵變量，描述變量之間的數(shù)量關(guān)系，最終建立數(shù)學模型，求解自行車的速度。學生在探究這一真實問題的過程中，可以體驗更加復(fù)雜完整的數(shù)學建模過程，得到的結(jié)論與現(xiàn)實生活聯(lián)系也更加密切。

本教學設(shè)計涉及簡單機械、能量轉(zhuǎn)換的知識，可能進一步延伸成為跨學科主題學習的一部分。

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教學背景分析

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教學內(nèi)容與分析

“自行車中的數(shù)學”是人教版義務(wù)教育數(shù)學教材六年級下冊中的一個綜合與實踐活動。本課內(nèi)容位于“比例”單元的末尾，旨在讓學生運用所學的圓、排列組合、比例等知識解決實際問題。通過解決生活中常見的自行車里的問題，了解數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系，經(jīng)歷“提出問題——分析問題——建立數(shù)學模型——求解——解釋與應(yīng)用”的問題解決的基本過程，獲得運用數(shù)學解決實際問題的思考方法，并加深對所學知識及其相互關(guān)系的理解（《義務(wù)教育教科書教師教學用書六年級下冊》）。

本課由兩個探究性活動組成，探究的問題分別是：

自行車蹬一圈能走多遠；

變速自行車能變化出多少速度。

在前一個問題中，學生基于自行車傳動結(jié)構(gòu)的原理，探究前后齒輪齒輪齒數(shù)和轉(zhuǎn)數(shù)之間的反比例關(guān)系，結(jié)合車輪直徑的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型（等式），計算自行車蹬一圈車輪前進的距離。

在后一個問題中，學生可以應(yīng)用之前建立的數(shù)學模型，探究變速自行車能變化出多少速度，并比較在不同齒比下自行車蹬一圈前進的距離。

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同題材常見教學思路綜述

作為探究性活動，本課的結(jié)構(gòu)一般包含以下環(huán)節(jié)：

創(chuàng)設(shè)情境、提出問題：教師直接提出探究問題“自行車蹬一圈能走多遠”。

課堂交流、方案比較：學生一般會提出直接測量的方案，教師通過一定的引導(dǎo)，指出直接測量的不足，引導(dǎo)學生使用數(shù)學建模的方法來解決問題。

觀察自行車結(jié)構(gòu)、分析問題

教師引導(dǎo)學生通過觀察自行車的結(jié)構(gòu)，得到“前齒輪轉(zhuǎn)一個齒，后齒輪也轉(zhuǎn)一個齒”這一關(guān)鍵的等量關(guān)系；隨后在前齒輪轉(zhuǎn)數(shù)和腳蹬圈數(shù)之間建立聯(lián)系，在后齒輪轉(zhuǎn)數(shù)和車輪轉(zhuǎn)數(shù)之間建立聯(lián)系。

建立數(shù)學模型并求解：對上面的關(guān)鍵等量關(guān)系進一步細化，最后得到以下關(guān)系式：

應(yīng)用并檢驗?zāi)Ｐ停禾岢龅诙€問題“變速自行車能變化出多少速度”及衍生問題“何時蹬一圈前進最遠”，學生應(yīng)用之前的模型解決問題并匯報結(jié)果。

課堂練習：學生解決“已知車輪直徑、前齒輪齒數(shù)、后齒輪齒數(shù)，求蹬一圈前進多遠”類型的應(yīng)用題。

課堂小結(jié)。

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我的思考（含學生分析）

本課實際上是一個典型的數(shù)學建模問題，學生需要建立數(shù)學模型去解決一個現(xiàn)實生活中的問題。根據(jù)《數(shù)學義務(wù)教育課程標準（2022）》，數(shù)學建模的基本過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境抽象出數(shù)學問題；用數(shù)學符號表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。在本課時中，數(shù)學問題是“自行車蹬一圈能走多遠”。

教師引導(dǎo)學生探究這一問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，得到結(jié)論：

最后，運用結(jié)論解決一些相關(guān)的問題。

從數(shù)學建模的視角來看，本課常見教學設(shè)計存在以下一些問題：

首先，“自行車蹬一圈能走多遠”問題本身稍顯生硬，不夠自然。人們在討論自行車的性能時，往往會問：這車能騎多快？而很少會問：這車蹬一圈能走多遠？自行車的速度是一個有用且常用的指標，但 “蹬一圈能走多遠”這個指標很不常用，作為探究的問題，顯得過于瑣碎、牽強，不容易引起學生的興趣。

其次，低估了建模的過程復(fù)雜性，或者為了補償這點而人為簡化了建模的過程。為解決實際問題而建立數(shù)學模型的時候，一個關(guān)鍵問題是：哪些量與這個問題相關(guān)？或者說，應(yīng)該選擇哪些變量來建立數(shù)學模型？解決真實問題時，選擇變量可能比描述變量之間的關(guān)系更困難。

在本問題中也是如此：如果能發(fā)現(xiàn)影響自行車“蹬一圈能走多遠”的關(guān)鍵因素（變量）是前后齒輪的齒數(shù)和車輪直徑/周長，解決問題就變得比較容易了。

然而要發(fā)現(xiàn)這一點，需要學生對自行車的機械原理和機械結(jié)構(gòu)有清晰的認知；而實際上，學生對此認識較為模糊，因此解決問題有困難。為了補償這一點，教師和教材會直接引導(dǎo)學生去關(guān)注自行車的齒輪和齒數(shù)（如下圖），相當于給出相關(guān)的變量，學生只需要研究這些變量之間的數(shù)量關(guān)系。這么做降低了探究的難度，但是降低復(fù)雜性也就意味著破壞了數(shù)學建模過程的真實性和完整性。如果本課的目的是要感知數(shù)學建模的基本過程，那么保留過程的復(fù)雜性和真實性似乎更為必要。

根據(jù)以上問題和以往教學實踐中學生的情況，我的教學設(shè)計與常規(guī)教學思路相比，有以下主要改動：

第一， 將本課的探究問題由“蹬一圈自行車能騎多遠”，改為“Z老師（本人）騎自行車能騎多快”。作者本人恰好常騎自行車，學生也?？吹轿因T車來校，因此這個問題對他們更切身相關(guān)、也更自然。

第二， 用更多的時間引導(dǎo)學生認識自行車的機械結(jié)構(gòu)，從而深入分析問題。為此，使用系列圖片，簡要引導(dǎo)學生回顧自行車的結(jié)構(gòu)發(fā)展的歷史。這樣做的目的是引導(dǎo)學生把視線聚焦到現(xiàn)代自行車的齒輪/鏈條傳動結(jié)構(gòu)上，注意到齒輪/鏈條傳動結(jié)構(gòu)的目的就是為了使“腳蹬一圈，車輪前進多于一圈”，從而更加主動地去探究 “自行車蹬一圈能走多遠”的問題，在這個過程中自主地選擇與解決問題相關(guān)的變量（輪徑、前齒輪齒數(shù)、后齒輪齒數(shù)），完成建模的最關(guān)鍵步驟。

第三， 可以看到，比起“自行車蹬一圈能走多遠”，要解決“自行車能騎多快”的問題需要增加一個已知量，那就是蹬車的頻率。獲得這個數(shù)據(jù)有三種可能的方法：實際測量；查閱文獻；教師直接給出假設(shè)。無論是哪一種方法都是數(shù)學建模中獲得數(shù)據(jù)的常用方法。在這一過程中，學生可以進一步感知數(shù)學建模的基本過程。

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教學目標與重難點

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教學目標

體驗數(shù)學建模的基本過程，經(jīng)歷“提出問題——分析問題——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的過程，培養(yǎng)模型意識。

使學生綜合運用所學知識解決實際問題，體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)應(yīng)用意識。 

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教學重點

將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，選擇合適的變量，描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。

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教學難點

選擇對于解決問題關(guān)鍵的變量。

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教學過程

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教學過程流程圖（或問題框架）

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教學活動

教學環(huán)節(jié)包括分析問題&選擇變量、分析子問題、選擇變量、建立模型、建立假設(shè)、模型求解、模型展示、課堂小結(jié)等環(huán)節(jié)。此部分略去，如需詳細教學活動流程，請在公眾號后臺留言咨詢。

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板書設(shè)計

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教學反思（或進一步思考的問題）

根據(jù)教學的情況，本教學設(shè)計可能在以下兩處可以再做優(yōu)化：

合作探究：教學過程中，建立模型這一部分總體較為線性，由教師引導(dǎo)學生一步步得出結(jié)論。因為前期支撐已經(jīng)較多，本部分可以考慮放手讓學生以小組探究的形式得出結(jié)論，更能激發(fā)學生的主動性，教學環(huán)節(jié)也可以相對簡潔。

評估：本組課時的評估可以讓學生以書面的形式（例如制作手抄報）再次梳理解決問題的過程、結(jié)論和方法，歸納知識之間的聯(lián)系，總結(jié)探究的方法，深化對數(shù)學建?；具^程的理解，交流各自的收獲。

此外，我們認為這一教學設(shè)計具有進一步拓展，作為跨學科主題學習的一部分的潛力。

首先，課堂學習的過程已經(jīng)涉及對簡單機械的理解。

其次，當我們討論可以變化齒比從而改變自行車的速度時，可以自然地帶來這些問題：我們應(yīng)該怎樣選擇變速自行車的齒比？高齒比和低齒比分別有什么優(yōu)勢和劣勢，分別適應(yīng)什么情況？改變齒比，自行車的速度可以無限提升嗎？為什么不能？

這些問題涉及到力、做功、能量之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化，是科學研究的范疇，同時與本課的關(guān)系自然且緊密?？鐚W科的教學設(shè)計可以成為下一步思考的問題。